?2023年河北專升本高等代數(shù)考試大綱

Ⅰ 課程簡介

一、內容概述與總要求

參加考試的考生應理解或了解《高等代數(shù)》 中多項式、行列式、線性方程組、矩陣、二次型、線性空 間、線性變換和歐氏空間的基本概念、定理、性質和方法，能運用本門課程的基礎知識和基本方法進行判 斷、分析、計算和證明；應具有較好的抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力；具備一定的分析、解決 問題的能力?？荚噺娜齻€層次上對考生進行測試，較高層次的要求為“理解”和“掌握” ，較低層級的要 求為“了解” 。這里“理解”和“了解”兩詞分別是對概念、理論的高層次與低層次要求?！罢莆铡笔菍?方法、運算的高層次要求。本說明下列用語的含義： 了解是指清楚地知道，理解是指懂得涵義、特征以及 與相關理論的關系，運用是指用以解決基本問題，掌握是指理解并能運用。

二、考試形式與試卷結構

考試形式：采用閉卷、筆試形式，全卷滿分為 300 分，考試時間為 150 分鐘。

試卷結構：試卷包括選擇題、填空題、判斷題、計算題、證明題和應用題。選擇題是四選一型的單項 選擇題；填空題只要求直接填寫結果，不必寫出計算過程或推證過程；計算題、證明題均應寫出文字說明、 演算步驟或推證過程。

試卷中《數(shù)學分析》、《高等代數(shù)》與《解析幾何》試題的分值比例約為 150:110:40

Ⅱ 知識要點與考核要求

一、多項式

1.知識要點

數(shù)域 P 上一元多項式的概念、基本運算和運算律；多項式整除的概念和性質，帶余除法；最大公因式 的概念和性質，輾轉相除法；多項式互素的概念和性質；不可約多項式的概念和性質；多項式根的概念和 性質；復數(shù)域上多項式不可約的充要條件，復數(shù)域上多項式根的個數(shù)，實系數(shù)多項式的非實復數(shù)根的特征， 實數(shù)域上多項式不可約的充要條件；Eisenstein 判別法，求整系數(shù)多項式有理根的方法.

2.考核要求

(1) 掌握數(shù)域 P 上一元多項式的概念、基本運算和運算律.

(2) 掌握多項式整除的概念和性質，掌握帶余除法.

(3) 掌握最大公因式的概念、性質，掌握輾轉相除法，掌握多項式互素的概念和性質.

(4) 掌握不可約多項式的概念和性質.

(5) 理解多項式根的概念和性質.

(6) 掌握復數(shù)域上多項式不可約的充要條件，掌握復數(shù)域上多項式根的個數(shù)，掌握實系數(shù)多項式的非

實復數(shù)根的特征，掌握實數(shù)域上多項式不可約的充要條件．

(7) 理解有理數(shù)域上多項式與整系數(shù)多項式的關系，掌握求整系數(shù)多項式有理根的方法，掌握 Eisenstein 判別法.

二、行列式

1.知識要點

排列及其逆序數(shù)，排列的奇偶性，行列式的概念，行列式的性質，余子式和代數(shù)余子式，行列式按一 行 (列) 展開定理，Vandermonde 行列式，克拉默 (Cramer) 法則。

2.考核要求

(1) 掌握排列的概念，掌握排列逆序數(shù)的概念和求法，理解排列的奇偶性.

(2) 理解行列式的定義.

(3) 掌握行列式的性質，掌握行列式按一行 (列) 展開定理.

(4) 會計算具體行列式的值，會計算簡單n 階行列式的值，理解Vandermonde 行列式．

(5) 了解克拉默法則．

三、線性方程組

1.知識要點

矩陣的概念，矩陣的初等變換，矩陣的秩；用消元法解線性方程組；線性方程組有解的判定定理；齊 次線性方程組基礎解系的概念和求法，線性方程組解的結構．

2.考核要求

(1) 理解矩陣的概念．

(2) 掌握矩陣的初等變換，理解矩陣秩的概念，掌握求矩陣秩的方法.

(3) 掌握消元法解線性方程組.

(4) 理解線性方程組有解的判定定理.

(5) 掌握齊次線性方程組基礎解系的概念及求法.

(6) 了解線性方程組解的結構.

四、矩陣

1.知識要點

矩陣的基本運算和運算律；可逆矩陣和逆矩陣的概念和性質，矩陣可逆的充要條件，伴隨矩陣的概念， 矩陣與其伴隨矩陣的關系，求逆矩陣的方法；n 階矩陣乘積的行列式．

2.考核要求

(1) 掌握矩陣的基本運算和運算律，理解對稱矩陣反對稱矩陣的概念.

(2) 掌握可逆矩陣和逆矩陣的概念和性質，掌握矩陣可逆的充要條件，

(3) 理解伴隨矩陣的概念，掌握矩陣與其伴隨矩陣的關系．

(4) 掌握求逆矩陣的方法.

(5) 會解簡單矩陣方程.

(6) 掌握矩陣乘積的行列式.

五、二次型

1.知識要點

二次型的定義，二次型的矩陣表示；矩陣的合同，矩陣的合同變換；二次型的標準形，復數(shù)域上和實 數(shù)域上二次型化成典范形，慣性指數(shù)；正定二次型，正定矩陣．

2．考核范圍

(1) 理解二次型的概念，會寫出二次型的矩陣.

(2) 理解矩陣的合同概念及性質，掌握矩陣的合同變換.

(3) 掌握利用矩陣的合同變換求可逆變量替換，把二次型化成標準形．

(4) 掌握利用矩陣的合同變換求可逆變量替換，把復數(shù)域上和實數(shù)域上二次型化成典范形，理解慣性指數(shù)的概念．

(5) 掌握正定二次型、正定矩陣的概念，掌握矩陣是正定矩陣的充要條件.

(6) 掌握求正交變量替換化二次型為標準形的方法.

六、線性空間

1．知識要點

線性空間的定義，向量的運算及其性質 (運算律)； 向量的線性組合、線性相關與線性無關及其主要性質，向量組的極大線性無關組，向量組的秩；行向量和列向量，線性空間的基和維數(shù)，向量坐標的概念； 線性子空間的定義，線性空間的子集是子空間的充要條件，向量組生成子空間的定義，子空間的交、子空 間的和．

2．考核范圍

(1) 了解線性空間的定義；掌握向量的運算及其性質 (運算律)．

(2) 掌握向量的線性組合、線性相關與線性無關及其主要性質，掌握向量組的極大線性無關組的概念，理解向量組秩的概念．

(3) 理解行向量和列向量的含義，掌握行向量組的秩和列向量組的秩的求法．

(4) 理解線性空間的基和維數(shù)．

(5) 理解向量坐標的概念．

(6) 了解線性子空間的定義，掌握線性空間的子集是子空間的充要條件；理解向量組生成子空間的定義；理解子空間的交、子空間的和．

七、線性變換

1.知識要點

線性變換的概念、性質、運算和運算律；線性變換與矩陣的關系，矩陣的相似；矩陣的特征值和特征 向量的概念和求法，線性變換的特征值和特征向量的概念和求法；矩陣和線性變換對角化的定義、條件和 方法.

2．考核范圍

(1) 掌握線性變換的概念、性質、運算和運算律.

(2) 理解線性變換與矩陣的關系.

(3) 理解矩陣相似的概念及性質.

(4) 掌握矩陣的特征值，特征向量的概念和求法，掌握線性變換的特征值，特征向量的概念和求法.

(5) 掌握矩陣和線性變換對角化的定義、條件和方法.

八、歐氏空間

1.知識要點

歐氏空間的概念，向量內積的性質； 向量長度、單位向量、向量夾角、向量正交的概念，正交向量組 和標準正交基的概念，施密特正交化方法，正交矩陣；正交變換的概念和性質；實對稱矩陣的性質，實對 稱矩陣的正交對角化．

2．考核范圍

(1) 掌握歐氏空間的概念，掌握向量內積的性質；掌握向量長度、單位向量、向量夾角、向量正交的 概念．

(2) 掌握正交向量組和標準正交基的概念，了解施密特正交化方法；掌握正交矩陣的概念和性質.

(3) 掌握正交變換的概念和性質．

(4) 掌握實對稱矩陣的性質，掌握實對稱矩陣的正交對角化方法.