2021年成人高考高起點(diǎn)數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)資料4

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等差數(shù)列、等比數(shù)列

等差、等比數(shù)列的性質(zhì)是等差、等比數(shù)列的概念，通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式的引申.應(yīng)用等差等比數(shù)列的性質(zhì)解題，往往可以回避求其首項(xiàng)和公差或公比，使問(wèn)題得到整體地解決，能夠在運(yùn)算時(shí)達(dá)到運(yùn)算靈活，方便快捷的目的，故一直受到重視.成人高考中也一直重點(diǎn)考查這部分內(nèi)容。

●難點(diǎn)磁場(chǎng)

(★★★★★)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為30，前2m項(xiàng)的和為100，求它的前3m項(xiàng)的和為_________.

●案例探究

[例1]已知函數(shù)f(x)= (x<-2).

(1)求f(x)的反函數(shù)f--1(x);

(2)設(shè)a1=1, =-f--1(an)(n∈N*),求an;

(3)設(shè)Sn=a12+a22+…+an2,bn=Sn+1-Sn是否存在最小正整數(shù)m,使得對(duì)任意n∈N*,有bn< 成立?若存在，求出m的值;若不存在，說(shuō)明理由.

命題意圖：本題是一道與函數(shù)、數(shù)列有關(guān)的綜合性題目，著重考查學(xué)生的邏輯分析能力，屬★★★★★級(jí)題目.

知識(shí)依托：本題融合了反函數(shù)，數(shù)列遞推公式，等差數(shù)列基本問(wèn)題、數(shù)列的和、函數(shù)單調(diào)性等知識(shí)于一爐，結(jié)構(gòu)巧妙，形式新穎，是一道精致的綜合題.

錯(cuò)解分析：本題首問(wèn)考查反函數(shù)，反函數(shù)的定義域是原函數(shù)的值域，這是一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)，(2)問(wèn)以數(shù)列{ }為橋梁求an,不易突破.

技巧與方法：(2)問(wèn)由式子 得 =4,構(gòu)造等差數(shù)列{ },從而求得an,即“借雞生蛋”是求數(shù)列通項(xiàng)的常用技巧;(3)問(wèn)運(yùn)用了函數(shù)的思想.

解：(1)設(shè)y= ,∵x<-2,∴x=- ,

即y=f--1(x)=- (x>0)

(2)∵ ，

∴{ }是公差為4的等差數(shù)列，

∵a1=1, = +4(n-1)=4n-3,∵an>0,∴an= .

(3)bn=Sn+1-Sn=an+12= ,由bn< ,得m> ,

設(shè)g(n)= ,∵g(n)= 在n∈N*上是減函數(shù)，

∴g(n)的最大值是g(1)=5,∴m>5,存在最小正整數(shù)m=6,使對(duì)任意n∈N*有bn< 成立.

[例2]設(shè)等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，它的所有項(xiàng)的和等于偶數(shù)項(xiàng)和的4倍，且第二項(xiàng)與第四項(xiàng)的積是第3項(xiàng)與第4項(xiàng)和的9倍，問(wèn)數(shù)列{lgan}的前多少項(xiàng)和最大?(lg2=0.3,lg3=0.4)

命題意圖：本題主要考查等比數(shù)列的基本性質(zhì)與對(duì)數(shù)運(yùn)算法則，等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的聯(lián)系以及運(yùn)算、分析能力.屬★★★★★級(jí)題目.

知識(shí)依托：本題須利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式合理轉(zhuǎn)化條件，求出an;進(jìn)而利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)明確數(shù)列{lgan}為等差數(shù)列，分析該數(shù)列項(xiàng)的分布規(guī)律從而得解.

錯(cuò)解分析：題設(shè)條件中既有和的關(guān)系，又有項(xiàng)的關(guān)系，條件的正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵，計(jì)算易出錯(cuò);而對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)也是易混淆的地方.

技巧與方法：突破本題的關(guān)鍵在于明確等比數(shù)列各項(xiàng)的對(duì)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，而等差數(shù)列中前n項(xiàng)和有最大值，一定是該數(shù)列中前面是正數(shù)，后面是負(fù)數(shù)，當(dāng)然各正數(shù)之和最大;另外，等差數(shù)列Sn是n的二次函數(shù)，也可由函數(shù)解析式求最值.

解法一：設(shè)公比為q,項(xiàng)數(shù)為2m,m∈N*,依題意有

化簡(jiǎn)得 .

設(shè)數(shù)列{lgan}前n項(xiàng)和為Sn,則

Sn=lga1+lga1q2+…+lga1qn-1=lga1n·q1+2+…+(n-1)

=nlga1+ n(n-1)·lgq=n(2lg2+lg3)- n(n-1)lg3

=(- )·n2+(2lg2+ lg3)·n

可見，當(dāng)n= 時(shí)，Sn最大.

而 =5,故{lgan}的前5項(xiàng)和最大.

解法二：接前， ,于是lgan=lg[108( )n-1]=lg108+(n-1)lg ,

∴數(shù)列{lgan}是以lg108為首項(xiàng)，以lg 為公差的等差數(shù)列，令lgan≥0,得2lg2-(n-4)lg3≥0,∴n≤ =5.5.

由于n∈N*,可見數(shù)列{lgan}的前5項(xiàng)和最大.

●錦囊妙計(jì)

1.等差、等比數(shù)列的性質(zhì)是兩種數(shù)列基本規(guī)律的深刻體現(xiàn)，是解決等差、等比數(shù)列問(wèn)題的既快捷又方便的工具，應(yīng)有意識(shí)去應(yīng)用.

2.在應(yīng)用性質(zhì)時(shí)要注意性質(zhì)的前提條件，有時(shí)需要進(jìn)行適當(dāng)變形.

3.“巧用性質(zhì)、減少運(yùn)算量”在等差、等比數(shù)列的計(jì)算中非常重要，但用“基本量法”并樹立“目標(biāo)意識(shí)”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地運(yùn)用條件，又要時(shí)刻注意題的目標(biāo)，往往能取得與“巧用性質(zhì)”解題相同的效果.

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